【Udemy中英字幕】Linear Algebra and Geometry 1

线性代数与几何 1

方程、矩阵、向量和几何系统

讲师：Hania Uscka-Wehlou

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你会学到什么

• 如何解决线性代数和几何问题（以 175 个已解决的问题为例）以及这些方法为何有效。
• 借助 Gauss-Jordan 或高斯消去法求解线性方程组，后者后跟回代。
• 通过分析线性方程组的 RREF 矩阵（与系统的增广矩阵等效的行）来解释线性方程组的几何解集。
• 矩阵运算（加法、缩放、乘法）、它们的定义方式、应用方式以及它们适用的计算规则。
• Matrix inverse：判断一个矩阵是否可逆；计算它的逆：使用（Jacobi）算法和显式公式；矩阵方程。
• 行列式、它们的定义、属性和计算它们的不同方法；行列式方程；n×n 方程组的 Cramer 规则。
• 向量，它们的坐标和范数；几何向量和抽象向量，它们的加法和缩放：算术和几何（2D 和 3D）。
• 向量积（缩放、点积、叉积、标量三重积）、它们的性质和应用；正交投影和向量分解。
• 3-空间中的解析几何：描述线和平面的不同方式，以及在解决问题中的应用。
• 通过使用正交投影和几何推理计算 3 空间中点、平面和线之间的距离。
• 确定直线和平面是否平行，如果它们相交，则计算它们之间的角度（使用点积和方向或法向量）。
• 如何从几何角度将 n×2 和 n×3 方程组及其解集解释为 2D 直线或 3D 平面之间的交集。
• 理解线性方程组和矩阵乘法之间的联系。
• 可逆矩阵定理及其应用；在各种情况下应用行列式测试。

要求

• 高中数学，主要是算术，一些三角函数

描述

线性代数与几何 1

方程、矩阵、向量和几何系统

第 1 章：线性方程组

S1。课程简介

S2。一些基本概念

您将学习：本课程中将用到的一些基本概念。他们中的大多数是从高中的数学课程中了解到的，其中一些是新的；后者将出现在课程的后面，然后将进行更深入的处理。

S3。线性方程组；建立你的几何直觉

您将学习： 关于线性方程组和线性方程组的一些基本概念；线性方程组背后的几何学。

S4。求解线性方程组；高斯消元法

您将学习：在具有唯一解的系统、不一致的系统和具有无限多解（参数解）的系统的情况下，使用高斯消元法（和反代入法）和高斯-约旦消元法求解线性方程组。

S5。在数学和自然科学中的一些应用

您将学习：线性方程组如何用于其他数学分支和自然科学。

第 2 章：矩阵和行列式

S6. 矩阵和矩阵运算

您将学习：矩阵的定义及其算术运算（矩阵加法、矩阵减法、标量乘法、矩阵乘法）。不同种类的矩阵（方阵、三角矩阵、对角矩阵、零矩阵、单位矩阵）。

S7. 倒数; 矩阵的代数性质

您将学习：使用矩阵代数；矩阵逆的定义。

S8. 初等矩阵和求 A 逆的方法

您将学习：如何使用 Gauss-Jordan 消去法（Jacobi 方法）计算矩阵的逆。

S9. 线性系统和矩阵

您将学习： 关于线性方程组和矩阵乘法之间的联系。

S10. 行列式

您将学习：行列式的定义；应用行列式算术定律，特别是乘法性质和沿行或列的扩展；求解涉及行列式的方程；用于求解 n×n 线性方程组（Cramer 规则）的显式公式，用于逆向非奇异矩阵的显式公式。

第 3 章：向量及其乘积

S11。2 空间、3 空间和 n 空间中的向量

您将学习：应用并以图形方式说明平面中矢量的算术运算；对 R^n 中的向量应用算术运算。

S12. R^n 中的距离和范数

您将学习：计算 R^n 中的点与 R^n 中的向量范数之间的距离，归一化向量。

S13. 点积、正交性和正交投影

您将学习：点积的定义以及如何使用它来计算几何向量之间的角度。

S14. 叉积、平行四边形和平行六面体

您将学习：叉积的定义以及将 3×3 行列式解释为 3 空间中平行六面体的体积。

第4章：线面解析几何

S15. R^2 中的线

您将学习：描述平面中直线的几种方法（斜截方程、截距形式、点向量方程、参数方程）以及如何计算给定上述方程之一的其他类型的方程。

S16. R^3 中的平面

您将学习：在 3 空间中描述平面的几种方法（正规方程、截距形式、参数方程）以及如何计算给定上述方程之一的其他类型的方程。

S17. R^3 中的线

您将学习：描述 3 空间中直线的几种方法（点向量方程、参数方程、标准方程）以及如何计算给定上述方程之一的其他类型的方程。

S18. 线性系统的几何；线面重合

您将学习：确定直线和平面的方程式，以及如何使用这些方程式通过求解方程组来计算交点。

S19. 点、线、面之间的距离

您将学习：确定直线和平面的方程式以及如何使用这些方程式计算距离。

S20。关于下一门课程的一些话

您将学习：关于第二门课程的内容。

请务必与您的教授核实您的期末考试需要课程的哪些部分。这些事情因国家而异，因大学而异，甚至同一所大学每年都不同。

资源文件中提供了课程内容的详细描述，包括所有 222 个视频及其标题，以及本课程中解决的所有 175 个问题的文本

“001 Outline_Linear_Algebra_and_Geometry_1.pdf”

在视频 1（“课程简介”）下。此内容也显示在视频 1 中。

本课程适合谁：

• 大学和学院工程