【Udemy中英字幕】Linear Algebra and Geometry 2

线性代数与几何 2

更多关于矩阵；抽象向量空间及其基

讲师：Hania Uscka-Wehlou

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你会学到什么

• 如何解决线性代数和几何问题（以 153 道已解决的问题为例）以及这些方法为何有效。
• 有关向量空间的重要概念，例如基、维度、坐标和子空间。
• 各种向量空间中的线性组合、线性相关性和独立性，以及如何在 R^2 和 R^3 中以几何方式解释它们。
• 如何借助转移矩阵和求解方程组从一个基到另一个基重新计算坐标。
• 矩阵的行空间、列空间和零空间，以及这些概念在解决各种问题时的用法。
• 线性变换：看待它们的不同方式（作为矩阵变换，作为保留线性组合的变换）。
• 如何组合线性变换以及如何在不同的基础上计算它们的标准矩阵；计算内核和图像以进行转换。
• 了解矩阵和线性变换之间的联系，并根据这种联系看到各种概念。
• 处理 R^2 和 R^3 中的各种几何变换，能够计算它们的矩阵并解释这些变换的工作原理。
• 理解等距的概念并能够举出一些例子，并阐明它们与正交矩阵的联系。
• 在 Gram-Schmidt 过程的帮助下，将 R^n 的子空间的任何给定基转换为同一子空间的正交基。
• 计算给定矩阵的特征值、特征向量和特征空间，并给出这些概念的几何解释。
• 确定给定矩阵是否可对角化，如果是，则执行其对角化。
• 了解矩阵的可对角化性和特征空间维数之间的关系。
• 使用对角化来解决涉及计算方阵的幂的问题，并说明此方法有效的原因。
• 能够制定和使用可逆矩阵定理并识别适合行列式检验的情况（以及不适合的情况）。
• 使用 Wronskian 确定一组光滑函数是否线性无关；能够计算 Vandermonde 行列式。
• 使用各种向量空间，例如 R^n、所有 n×m 矩阵的空间、多项式空间、平滑函数空间。

要求

• 线性代数和几何 1（方程组、矩阵和行列式、向量及其乘积、线和平面的解析几何）
• 高中和大学数学（主要是算术，一些三角函数，多项式）
• 一些基本的微积分（在一些例子中使用）
• 复数基础知识（用在例子中）

描述

线性代数与几何 2

更多关于矩阵；抽象向量空间及其基

第 1 章：抽象向量空间和相关内容

S1。课程简介

S2。 实向量空间及其子空间

您将学习：向量空间的定义和围绕公理的推理方式；确定向量空间的子集是否是子空间。

S3。 线性组合和线性独立

您将学习：线性组合和跨度、线性相关和独立集的概念；应用高斯消元来确定集合是否线性独立；线性相关性和线性独立性的几何解释。

S4。坐标、基础和维度

您将学习：向量空间的基的概念、给定基的坐标以及向量空间的维数；您将学习如何应用行列式检验来确定一组n个向量是否是 R^n 的基础。

S5。基础的变化

您将学习：如何通过求解线性方程组、使用转移矩阵和使用高斯消去法来重新计算碱基之间的坐标；不同坐标系背后的几何。

S6. 矩阵的行空间、列空间和零空间

您将学习：行和列空间的概念，以及矩阵的零空间；找到具有不同条件的 R^n 中几个向量跨度的基数。

S7. 秩、零和四个基本矩阵空间

您将学习：确定矩阵的秩和无效性；找到给定子空间的正交补集；四个基本矩阵空间以及它们之间的关系。

第 2 章：线性变换

S8. 从 R^n 到 R^m 的矩阵变换

您将学习： 关于矩阵变换：了解用矩阵识别线性变换的方法（为给定变换生成标准矩阵，并为给定矩阵生成变换）；概念：内核、图像和逆运算符；了解它们与零空间、列空间和逆矩阵之间的联系。

S9. R^2 和 R^3 上矩阵变换的几何

您将学习： 关于变换，例如旋转、对称、投影及其矩阵；您将学习如何说明平面中线性变换的动作。

S10. 矩阵变换的性质

您将学习：在线性变换下子空间和仿射空间（点、线和平面）会发生什么；面积和体积会发生什么变化；线性变换作为矩阵乘法的组合。

S11。不同基数的一般线性变换

您将学习：解决涉及两个向量空间之间线性变换的问题；在不同的基础上进行线性变换。

第 3 章：正交性

S12. 革兰氏施密特过程

您将学习： 关于正交基及其优于其他基的优势；关于子空间到 R^n 的正交投影；在 Gram-Schmidt 过程的帮助下，为 R^n 的给定子空间生成正交基。

S13. 正交矩阵

您将学习：正交矩阵的定义和性质；他们的几何解释。

第 4 章：矩阵的特征分解介绍

S14. 特征值和特征向量

您将学习：计算具有实数项的方矩阵的特征值和特征向量；特征向量和特征空间的几何解释。

S15. 对角化

您将学习： 确定给定矩阵是否可对角化；对角化矩阵并应用对角化来解决问题（矩阵的幂）。

S16. 总结线性代数和几何 2

您将学习： 关于第三门课程的内容。

请务必与您的教授核实您的期末考试需要课程的哪些部分。这些事情因国家而异，因大学而异，甚至同一所大学每年都不同。

资源文件中提供了课程内容的详细描述，包括所有 214 个视频及其标题，以及本课程中解决的所有 153 个问题的文本

“001 List_of_all_Videos_and_Problems_Linear_Algebra_and_Geometry_2.pdf”

在视频 1（“课程简介”）下。此内容也显示在视频 1 中。

本课程适合谁：

• 大学和学院工程