【Udemy中英字幕】Partial Differential Equations: Comprehensive Course

偏微分方程：综合课程

通过傅里叶变换、傅里叶级数、变量分离法 + 不确定性原理部分解决的 PDE

讲师：Emanuele Pesaresi

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您将学到什么

• 如何使用傅里叶变换解决 PDE 问题
• 一维和多维傅里叶变换
• 分离变量法解热方程（附练习）
• 分离变量法求解笛卡尔和极坐标中的拉普拉斯方程（附练习）
• 如何应用傅里叶变换求解二阶微分方程
• 如何推导金融中的布莱克-舒尔斯方程
• 如何推导（并在某些情况下求解）纳维-斯托克斯方程
• 流线的概念
• 数学技巧
• 如何利用概率论概念推导海森堡不确定性原理

探索相关主题

• 量子力学（物理学）
• 科学
• 教学与学术

要求

• 微积分（特别是：导数、积分）
• 多元微积分（特别是：雅可比矩阵、拉普拉斯矩阵等）
• 复杂微积分（傅里叶级数和留数的基础知识可能会有帮助）
• 概率论的一些概念（分布、均值、方差）
• 复数

描述

使用傅里叶变换求解偏微分方程：分步指南

课程简介：

本课程旨在全面了解如何使用傅里叶变换作为解决偏微分方程( PDE ) 的强大工具。本课程分为三部分，每部分都以前一部分为基础，并包括关于海森堡不确定性原理的数学推导的附加部分。

第 1 部分：在本部分中，我们将从傅里叶级数的基础知识开始，并推导傅里叶变换及其逆变换。然后，我们将应用这些概念，使用傅里叶变换求解 PDE。本部分的先决条件是微积分和多元微积分，重点关注与导数、积分、梯度、拉普拉斯算子和球面坐标相关的主题。

第 2 部分：本节介绍笛卡尔和极坐标中的热方程和拉普拉斯方程。我们将使用变量分离法解决具有不同边界条件的练习。本节是独立的，独立于第一部分，但建议先了解 ODE。

第 3 部分：本部分专门讨论扩散/热方程，我们将从物理原理中推导出该方程并严格求解。附加部分包括海森堡不确定性原理的数学推导。

课程优势：

• 深入了解傅里叶变换及其在解决 PDE 中的应用。
• 学习如何应用变量分离法来解决具有不同边界条件的练习。
• 深入了解扩散/热方程及其求解方法。
• 关于海森堡不确定性原理的附加部分提供了对量子力学背后的数学原理的更深入的理解。

先决条件：

• 微积分和多元微积分，重点关注导数、积分、梯度、拉普拉斯算子和球坐标。
• 建议预先了解 ODE。
• 一些复数微积分和留数的知识可能会有用。

本课程适合哪些人？

• 具有数学或物理学背景的学生和专业人士希望更深入地了解如何使用傅里叶变换解决 PDE。
• 对量子力学和海森堡不确定性原理背后的数学原理感兴趣的人。

本课程适合哪些人：

• 对物理和概念的数学推导感兴趣的学生
• 工程师
• 数学家
• 物理学家
• 数据科学家
• 电脑程序员

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