【Udemy中英字幕】Calculus 2, part 2 of 2: Sequences and series

微积分 2，第 2 部分（共 2 部分）：序列和级数

单变量微积分：数字序列和级数以及一个实变量的实值函数

讲师：Hania Uscka-Wehlou

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您将学到什么

如何解决与序列和级数有关的问题（通过 378 个已解决的问题说明）以及这些方法为何有效。
定义数字序列的各种方法：借助描述性定义、明确（封闭）公式、递归定义。
数字序列的极限，包括有限和无限（Calc1p1 中介绍的主题的重复和延续）。
扩展实数的算术（重复和延续 Calc1p1 中介绍的主题）。
处理不确定形式（重复和延续 Calc1p1 中介绍的主题）。
标准极限，比较无穷大（重复和延续 Calc1p1 中介绍的主题）。
序列的挤压定理（Calc1p1 中介绍的主题的重复和延续）。
魏尔斯特拉斯序列定理（Calc1p1 中介绍的主题的重复和延续）。
为所有正参数定义的函数及其在检查数字序列（单调性、极限）中的作用。
解决递归关系：二阶线性递归的封闭公式（有或无初始条件）。
用于计算不确定形式极限的 Stolz-Cesàro 定理。
用于确定序列收敛或发散的比率检验。
柯西定理（收敛序列的算术平均值的收敛）。
AM-GM不等式；收敛序列的几何平均值的收敛。
检查序列 (a_n) 连续项的差异以确定 a_n/n 的收敛。
检查序列 (a_n) 连续项的商以确定 a_n 的 n 次根是否收敛。
序列的一些应用（离散化、近似值）；其他课程中的序列。
柯西序列和实数集的完备性；Bolzano-Weirestrass定理。
级数作为序列部分和的极限：定义和例子。
收敛和发散级数：简单和高级的例子。
算术级数和几何级数及其收敛。
p级数，它们与p积分的关系；它们的收敛性的讨论。
系列的比较标准。
系列的积分检验。
系列比率检验。
系列的根测试。
实值函数序列（非常简短的介绍）。
实值函数级数（非常简短的介绍）。
幂级数及其收敛半径。
泰勒多项式和泰勒级数，光滑函数。
泰勒多项式在函数逼近值中的应用。
泰勒多项式在计算不定形式极限中的应用。
预览下一门课程的内容（实分析：度量空间）。

探索相关主题

要求

微积分 1：极限与连续性（或同等学历）
微积分 1：导数及其应用（或同等内容）
微积分 2：积分及其应用（或等效内容）
欢迎随时提问。如果课程内容有任何不清楚的地方，请随时提问。最好使用问答功能，这样其他同学都能看到我对不清楚主题的补充解释。记住：你不是一个人在面对疑问，在论坛上提问对每个人都有好处。

描述

微积分 2，第 2 部分（共 2 部分）：序列和级数

单变量微积分

S1. 课程介绍

您将了解：有关本课程的内容；您还将获得我们以前课程的视频列表，其中讨论了当前主题（序列和系列）。

S2. 数字序列：Calc1p1 的延续

您将学到：在 Calc1p1（第 5 节）中给出介绍之后，了解有关序列的更多信息：在本节中，我们重复了 Calc1p1 中的一些基本事实：序列及其极限的概念，计算确定和不确定形式极限的基本规则；回顾这些概念，您还可以获得更多解决问题的例子。

S3. 魏尔斯特拉斯定理：Calc1p1 的延续

您将学习：在这里我们继续（在 Calc1p1 之后）讨论单调序列及其收敛；主要工具是魏尔斯特拉斯定理，也称为“单调收敛定理”；在重复一些基本事实之后，您将得到大量深入说明问题的解答题。

S4. 处理序列时使用函数

您将学习：在本节中，我们将学习新内容：序列的函数方法，我们无法在 Calc1p1 中学习，因为关于序列的部分在关于函数的部分之前（在极限和连续性的背景下）；如何（对于序列）使用为函数开发的理论（导数、洛必达规则等）。

S5. 序列收敛的新定理和测试

您将学习：各种测试帮助我们计算序列的极限在某些情况下：Stolz-Cesàro 定理及其一些推论，序列的比率测试；我们将证明定理，讨论它们的内容，并将它们应用于各种例子。

S6.解决递归关系

您将学习：解决 2 阶线性递归（介绍；离散数学中将涵盖更多内容）。

S7. 序列的应用和其他一些需要解决的问题

您将了解：序列的各种应用；更多我们以前从未见过的与序列相关的问题类型（这里的一些问题确实很难）。

S8. 柯西序列与实数集

您将学到：更多（比 Calc1p1 中更多）关于数字序列的单调性、有界性和收敛性之间的关系；子序列及其极限；上极限和下极限（仅阅读材料：加州大学戴维斯分校笔记第 50-55 页第 3.6 节）；Bolzano-Weierstrass 定理；基本序列（具有柯西性质的序列）、它们的有界性和收敛性；借助有理数基本序列的等价类构建实数集；完整度量空间的定义。

S9. 数字系列：概述

您将学习：关于级数：它们的定义和解释，许多收敛和发散级数的例子（几何级数、算术级数、p 级数、伸缩级数、交替级数）；您还将学习如何在某些情况下确定级数的总和；我们稍后将使用这些级数来确定其他更难处理的级数的收敛或发散。

S10. 数字系列：大量测试，更多练习

您将学习：大量的数列收敛测试（它们为什么有效以及如何应用它们）：比较测试、极限比较测试、比率测试（达朗贝尔测试）、根测试（柯西测试）、积分测试。

S11. 序列上的各种运算

您将了解：交换律和结合律等常规计算规则如何适用于级数；级数的柯西积；余数、它们的各种形状以及它们在近似级数和中的作用。

S12. 函数序列（非常简短的介绍）

您将学到：您将获得有关函数序列主题的非常简短的介绍；更多内容将在“实分析：度量空间”中介绍；逐点收敛和一致收敛的概念将分别通过一个例子进行简要介绍和说明；这些概念将在“实分析：度量空间”中得到进一步发展。

S13. 函数的无穷级数（非常简短的介绍）

您将学到：您将获得有关函数级数主题的非常简短的介绍：足以在下一节中介绍幂级数的主题。

S14. 幂级数及其性质

您将学习：幂级数的概念和思考这个主题的不同方式；收敛半径；幂级数的算术运算（加法、减法、缩放、乘法）；关于幂级数逐项微分和积分的一些词汇（可选）。