【Udemy中英字幕】Calculus 2, part 1 of 2: Integrals with applications

微积分 2，第 1 部分（共 2 部分）：积分及其应用

一元积分学：计算曲线间面积、曲线长度和体积的理论与应用

讲师：Hania Uscka-Wehlou

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您将学到什么

• 如何解决有关单变量实值函数积分的问题（通过 419 个已解决的问题说明）以及这些方法为何有效。
• 函数的不定积分/原函数/不定积分的概念，以及以与微分相反的过程计算此类积分。
• 部分积分法是乘积法则的逆运算，并有许多应用示例。
• 代换积分法是链式法则的逆运算，并给出了许多应用示例。
• 借助部分分式分解对有理函数进行积分。
• 各种类型的三角积分以及如何处理它们。
• 正代换和逆代换；各种类型的三角代换。
• 正切半角代换（通用三角代换）。
• 欧拉的替代。
• 三角替换。
• 黎曼积分（定积分）：其定义和面积几何解释。
• 非黎曼可积函数的一个例子（集合 Q 的特征函数，限制在 [0,1] 之间）。
• 振荡和；（黎曼）可积性的柯西准则。
• (黎曼)可积性的序列表征。
• 闭有界区间上连续函数一致连续性的证明。
• 闭区间上连续函数的可积性。
• 通过检查进行积分：奇函数（或偶函数）在紧凑和对称于零区间上的黎曼积分。
• 通过检查进行积分：借助几何学中已知的区域来评估一些定积分。
• 微积分基本定理（FTC）分为两部分，并附有证明。
• 微积分基本定理在 Calc 2 和 Calc3 中的应用。
• 应用 FTC 计算借助具有可变（一个或两个）积分极限的黎曼积分定义的函数的导数。
• 应用 FTC 计算可解释为某些可积函数的黎曼和的序列极限。
• 积分中值定理的证明和几何解释；区间函数平均值的概念。
• 黎曼积分的应用：函数图像与x轴之间的（有符号）面积，两个连续函数定义的曲线之间的面积。
• 黎曼积分的应用：旋转体积。
• 黎曼积分的应用：旋转面积。
• 黎曼积分的应用：曲线长度。
• 第一类不当积分（无界区间上的积分）。
• 第二类不当积分（无界函数的积分）。
• 判断反常积分是否收敛的比较标准。

探索相关主题

要求

• 预备微积分（基本概念、多项式和有理函数、三角学、指数和对数）
• 微积分 1：极限与连续性（或同等学历）
• 微积分 1：导数及其应用（或同等内容）
• 欢迎随时提问。如果课程内容有任何不清楚的地方，请随时提问。最好使用问答功能，这样其他同学都能看到我对不清楚主题的补充解释。记住：你不是一个人在面对疑问，在论坛上提问对每个人都有好处。

描述

微积分 2，第 1 部分（共 2 部分）：积分及其应用

单变量微积分

S1. 课程介绍

你将学习：本课程的内容以及积分微积分的重要性。本节的目的并非教授所有细节（这些细节将在课程后期讲解），而是让你了解课程的总体情况。

S2. 逆微分的基本公式

您将学习：不定积分（原函数、不定积分）的概念；基本初等函数的导数的逆公式。

S3. 分部积分：乘积法则的逆向

您将学到：理解和应用称为“分部积分”的积分技术；一些非常典型且直观清晰的例子（正弦或余弦乘以多项式、指数函数乘以多项式）、不太明显的例子（正弦或余弦乘以指数函数）、令人难以置信的例子（反正切和对数）以及其他例子。

S4. 变量变换：逆链式法则

您将学习：如何在积分中执行变量替换以及如何认识到应该这样做。

S5. 有理函数积分：部分分式分解

您将学习：如何使用部分分式分解来积分有理函数。

S6. 三角积分

您将学习：如何使用各种方法计算包含三角函数的积分，例如使用三角恒等式、使用通用替换（半角的正切）或其他替换，将我们的原始问题简化为有理函数积分的计算。

S7. 正代换和逆代换，以及更多积分技术

您将学习：欧拉代换；正代换和逆代换之间的区别；三角形代换（三角代换）；在我们之前使用分部积分或变量代换的情况下的一些替代方法（通过待定系数）。

S8. 解决问题

您将学到：您将有机会练习迄今为止学到的积分技术；您还将获得对初始值问题的非常简短的介绍（该主题将在未来的 ODE 课程“常微分方程”中继续讲解）。

S9. 黎曼积分：定义和性质

您将学习：如何定义黎曼积分（定积分）以及它们与面积概念的关系；分割，黎曼（下和上）和；可积函数；黎曼积分的性质；闭有界区间上连续函数一致连续性的证明；连续函数（以及具有有限个不连续点的函数）可积性的证明；单调函数；不可积函数的著名例子；积分中值定理的公式、证明和说明；区间上函数的平均值。

S10. 通过检查进行整合

您将学习：如何确定描述已知几何对象（圆盘、矩形、三角形）的一些函数的积分值；关于原点对称的区间上的偶函数和奇函数的积分的性质；周期函数的积分。

S11. 微积分基本定理

您将学习：微积分基本定理的公式、证明和解释；如何使用该定理：1. 评估黎曼积分，2. 计算可以解释为某些可积函数的黎曼和的序列极限，3. 计算借助积分定义的函数的导数；关于微积分 3（多元微积分）中微积分基本定理的应用的一些词语。

S12. 曲线之间的面积

您将学习：计算两条曲线（连续函数图）之间的面积，特别是连续函数图和 x 轴之间的面积。

S13. 弧长

您将学习：计算可微函数图各部分的弧长。

S14. 旋转体积

您将了解：使用不同的方法计算各种类型的体积。

S15. 表面积

您将学到：计算可微函数图形各部分旋转后得到的曲面面积。

S16. 第一类反常积分

您将学到：评估无限区间内的积分。

S17. 第二类不当积分

您将学到：评估非封闭区间内的积分，其中被积函数在端点（一个或两个）处可以是无界的。

S18. 比较标准

您将学习：通过将不当积分与一些众所周知的不当积分进行比较，使用比较标准来确定不当积分的收敛性。

一定要和你的教授确认期末考试需要学习哪些课程内容。这些要求在不同国家、不同大学有所不同，甚至同一所大学的不同年份也可能有所不同。

资源文件中提供了课程内容的详细描述，包括所有 261 个视频及其标题，以及本课程中解决的所有 419 个问题的文本

“001 所有视频和问题列表_微积分_2_p1.pdf”

请参阅视频 1（“课程介绍”）下的课程介绍。此内容也在视频 1 中呈现。

本课程适合哪些人：

• 想要学习单变量微积分（或实分析）的大学生
• 对大学数学感兴趣的高中生；该课程适合成年人为这些学生购买